BIBLIOGRAFIA

• http://www.vitutor.com/fun/4/a_3.html
• http://definicion.de/derivada/
• http://matematica.50webs.com/derivada.html
• http://www.definicionabc.com/general/derivada.php
• http://www.dervor.com/derivadas/derivada.html
• http://www.acienciasgalilei.com/mat/fun-gra-htm/12maximo-min.htm
• http://www.ditutor.com/funciones_1/maximos_minimos.html
• http://www.matetam.com/glosario/definicion/razon-cambio-una-variable-respecto-a-otra
• http://recursos.salonesvirtuales.com/assets/bloques//Maria_ElenaRUIZ_Raz%C3%B3n_de_Cambio.pdf
• https://cibertareas.info/derivada-como-razon-de-cambio-instantanea-calculo-diferencial.html
• http://matematicasnewtonyleibniz.blogspot.mx/2012/09/introduccion.html?m=1
• http://historiadelcalculo504.blogspot.mx/2012/08/aplicaciones-del-calculo-en-la.html?m=1
• Aguilas Marques, Bravo Vázquez,Calculo diferencial, 4ta edicion, editorial pearson, 2016.
• Apuntes de clases.

RAZÓN DE CAMBIO!!! ♥♥♥

¿QUE ES LA RAZÓN DE CAMBIO?

Razón de cambio (de una variable respecto a otra) es la magnitud del cambio de una variable por unidad de cambio de la otra. (También se le llama tasa de cambio.) Si las variables no tienen ninguna dependencia la tasa de cambio es cero. 

En general, en una relación funcional y=f(x)$y=f(x)$, la razón de cambio de la variable dependiente y$y$ respecto a la independiente x$x$ se calcula mediante un proceso de límite --de la razón [f(x+t)−f(x)]/t$[f(x+t)-f(x)]/t$, denominada cociente diferencial.

En sentido estricto entonces, la razón de cambio es el límite del cociente diferencial cuando t tiende a cero. De esta manera, la razón de cambio es la interpretación fundamental de la derivada de una función. 

Se presenta la siguiente definición como razón de cambio promedio:

En palabras sencillas es EL RESULTADO DE DIVIDIR EL CAMBIO DE VALOR "Y" ENTRE EL CAMBIO DE VALOR DE "X".

RAZÓN DE CAMBIO INSTANTÁNEO 

Derivada como Razón de Cambio Instantánea en el Calculo Diferencial.En una función [F], es otra función denotada por [F´] y definida mediante:

Ya que la derivada de una función: es el limite de la razón de cambio instantánea.Aclaramos que existen algunas otras notaciones para la derivada como:

Ya que la Expresión [d/dx] expresa que debe tomarse la derivada con respecto a [x] de cualquier expresión que siga.

MÁXIMOS Y MÍNIMOS!♥♥♥♥

MÁXIMOS Y MÍNIMOS EN UNA FUNCIÓN

Los máximos y mínimos son los extremos relativos o locales de una función.

MÁXIMO RELATIVO

En un punto en el que la derivada se anule y antes sea positiva y después del punto negativa, se dice que la función tiene un máximo relativo. Es decir, que F'(x_o) = 0 y en ese punto, la función, pase de creciente a decreciente. En x = a la función tiene un máximo relativo y se observa que su derivada se anula en ese punto, pasando de positiva a negativa. (se anula y cambia de signo). Máx en (a,f(a)).

 Si f y f' son derivables en a, a es un máximo relativo si se cumple:

1. f'(a) = 0

2. f''(a) < 0

En palabras sencillas el valor máximo relativo es cuando LA PENDIENTE CAMBIA DE POSITIVO A NEGATIVO.

MÍNIMO RELATIVO

En un punto en el que la derivada se anule y antes sea negativa y después del punto positiva, se dice que la función tiene un mínimo relativo. Es decir, que F'(x_o) = 0 y en ese punto, la función, pase de decreciente a creciente. En x = b la función tiene un mínimo relativo y se observa que su derivada se anula en ese punto, pasando de negativa a positiva. Mín en (b,f(b).

 Si f y f' son derivables en a, a es un mínimo relativo si se cumple:

1. f'(a) = 0

2. f''(a) > 0

En palabras sencillas el valor mínimo relativo es cuando LA PENDIENTE CAMBIA DE NEGATIVO A POSITIVO.

Para que una función tenga máximo o mínimo no es suficiente con que su derivada se anule (debe, además, cambiar de signo).

MÁXIMO ABSOLUTO

Una función tiene su máximo absoluto en el x=a si la ordenada es mayor o igual que en cualquier otro punto del dominio de la función.

MÍNIMO ABSOLUTO

Una función tiene su mínimo absoluto en el x = b si la ordenada es menor o igual que en cualquier otro punto del dominio de la función.

a = 0

PUNTO DE INFLEXIÓN

Un punto de inflexión es aquel donde la función derivada tiene un máximo o mínimo, es decir, un punto singular. Se dice que la función tiene un cambio en la concavidad.

Para calcular los puntos de inflexión hay que igualar a cero la derivada segunda y comprobar que ésta cambia de signo. Es decir, estudiar los máximos y mínimos de la primera derivada, para ello se deriva la primera derivada (segunda derivada) y se anula. En los puntos donde la segunda derivada se anule y cambie de signo, la función tendrá un punto de inflexión y su derivada un máx o un mín. En la gráfica, en x = 0 la función tiene un punto de inflexión y en el su derivada tiene un mínimo en (0,c).

  Donde la derivada segunda sea positiva se dice que la función es cóncava positiva y donde es negativa concavidad negativa. Un punto de inflexión es donde la función cambia de concavidad.

• CONCAVIDAD ↑ : La curva queda por encima de sus rectas tangentes.
• CONCAVIDAD ↓ : La curva esta por debajo de sus rectas tangentes.

FUNCIÓN CRECIENTE Y DECRECIENTE

Creciente  en x_o si para   x > x_o     F(x) ≥ F(x_o)   ► F ' (xo) ≥ 0

• ya que:

  		F(x) - F(xo)
  F'(xo) =	Lim	————————	≥ 0
  	x → xo	x - xo

   Una función F(x) se dice que es Creciente en un punto, x_o, si su derivada, en ese punto, x_o, es positiva;   F '(x_o) ≥ 0. En la gráfica se puede ver que esto ocurre desde -∞ hasta a y desde b hasta +∞. En esos intervalos la derivada (pendiente) está por encima del ejes X (es positiva).

Decreciente  en x_o si para   x > x_o     F(x) ≤ F(x_o)   ► F ' (xo) ≤ 0

• Una función F(x) se dice que es Decreciente en un punto, x_o, si su derivada, en ese punto, x_o, es negativa;   F '(x_o) ≤ 0. En la gráfica se observa que esto ocurre para valores de x comprendidos entre a y b. En este intervalo la derivada está por debajo del eje X (es negativa).
   

  		F(x) - F(xo)
  F'(xo) =	Lim	———————	≤ 0
  	x → xo	x - xo

DERIVADA!!♥♥♥

¿QUÉ ES LA DERIVADA?

Una derivada resulta ser el límite hacia el cual tiende la razón entre el incremento de la función y el que corresponde a la variable, cuando este último tiende a cero.
La derivada de una función en un punto representa el valor de la pendiente de la recta tangente en el mencionado punto y mide el coeficiente en el que varía la función, es decir, nos dará una formulación matemática de la noción del coeficiente de ese cambio. Este coeficiente indicará lo rápido que crece o en su defecto lo rápido que decrece una función en un punto respecto del eje de un plano cartesiano de dos dimensiones.

La derivada de una función F(x) en un punto x=a es el valor del limite, si existe, del coeficiente incremental cuando el incremento de la variable tiende a cero

Cuando H tiende a 0, el punto Q tiende a confundirse con el P. Entonces la recta secante tiende a ser la recta tangente a la funcipon f(x) en P, y por lo tanto el angulo a tiende a ser β.

En palabras sencillas LA DERIVADA ES LA PENDIENTE DE UNA RECTA TANGENTE EN UN PUNTO CUALQUIERA DE LA RECTA.

• Pendiente(m) = La tangente del 0° de inclinación.
• Pendiente(m) = La razón de cambio

FUNCIÓN DERIVADA
La derivada es una función de x, puesto que un valor de f'(x) corresponde a cada valor de x.

TEOREMA
Si una función es derivable, entonces es continua.

H) f es derivable en x=a.
T) f es continua en x=a.

FORMULAS 

TIPS PARA DERIVAR POR DEFINICIÓN

• NUNCA SE DESARROLLA NADA EN EL DENOMINADOR
• TODOS LOS TÉRMINOS DEL NUMERADOR QUE NO SE CANCELEN  DEBEN TENER DELTA X

TIPS PARA DERIVAR (PRIMERA COLUMNA DEL FORMULARIO)

• ANTES DE DERIVAR SIEMPRE HAY QUE SIMPLIFICAR.
• NUNCA SE DEJA UNA FRACCIÓN DENTRO DE OTRA FRACCIÓN
• CUANDO SE SIMPLIFICA POR FACTOR COMÚN, LOS TÉRMINOS QUE QUEDEN DENTRO DEL PARÉNTESIS TIENEN QUE TENER POTENCIAS ENTERAS POSITIVAS.

TIPS PARA DERIVAR (SEGUNDA COLUMNA DEL FORMULARIO)

• EL ÁNGULO ES INTOCABLE
• SI HAY UNA IDENTIDAD SOLA DIVIDIENDO, SE PUEDE SUBIR CON SU RECIPROCA
• USAR CIRCULO UNITARIO.
  

LIMITES!!♥♥

¿QUÉ ES UN LIMITE?

Un límite es una magnitud a la que se acercan progresivamente los términos de una secuencia infinita de magnitudes. Un límite matemático, por lo tanto, expresa la tendencia de una función o de una sucesión mientras sus parámetros se aproximan a un cierto valor.

 Si al aproximar x lo suficientemente cerca de un numero a (sin ser a) tanto del lado izquierdo como del derecho, f(x) se aproxima a un número L, entonces el límite cuando x tiende al número a es L.

lim f(x) = L
 x -> a

Cuando el limite tiende a la izquierda:
 lim f(x)  = L  
 x -> a-

Cuando el limite tiende a la derecha:
lim f(x) = L  
x -> a+



CUANDO EL LIMITE QUE TIENDE A DERECHA Y EL LIMITE QUE TIENDE A IZQUIERDA SON IGUALES, ESE NUMERO ES EL LIMITE DE LA FUNCIÓN.

CUANDO EL LIMITE QUE TIENDE A DERECHA Y EL LIMITE QUE TIENDE A IZQUIERDA SON DIFERENTES, EL LIMITE DE LA FUNCIÓN NO EXISTE.


N / 0 = No existe                          N * 0 = 0                             ∞ + ∞ = ∞

0 / N = 0                                       N / ∞ = Casi 0                      ∞ / ∞ = Indeterminada

0 / 0 = Indeterminado                  ∞ / N = ∞                              ∞ - ∞ = Indeterminado

    

HISTORIA DEL CÁLCULO Y SUS APLICACIONES :)

HISTORIA DEL CALCULO

La mayor aportación de Newton a las matemáticas fue el descubrimiento del Cálculo Infinitesimal. Su principal logro fue identificar la derivada y la integral como procesos inversos. A raíz de este descubrimiento, se creó con  Leibnitz (importante matemático alemán) una larga polémica sobre quién era el autor del Cálculo Infinitesimal. Dicha polémica siguió durante todo el siglo XVIII entre los matemáticos  ingleses y los del continente Europeo;  los primeros acusaban a Leibnitz de haber traducido la obra de Newton, los segundos acusaban a Newton de ser un ladrón de las ideas de Leibnitz. La verdad es que los dos descubrieron el Cálculo Infinitesimal independientemente y prácticamente a la vez, tal y como se ha podido comprobar años después.

APLICACIONES DEL CALCULO

El cálculo en sí, tiene mucha importancia en la actualidad, principalmente porque la mayoría de las tecnologías que hoy utilizamos empezaron siendo simples ideas que con la ayuda del cálculo se fueron desarrollando hasta llegar a lo que hoy son, simplemente muchas de ellas necesitaron del cálculo por lo menos fundamental, para lograrse y llevar a cabo su funcionamiento.

Además de las tecnologías, mucho de infraestructuras creadas por los hombres (edificios, carreteras, etc) han sido a base del cálculo para analizar y resolver cálculos matemáticos para su elaboración.

También puede decirse que el cálculo ayuda a analizar y comprender ecuaciones que involucran sus funciones y derivadas. Hoy en día es importante tener conocimientos básicos de este, ya que para muchos trabajos profesionales es sumamente necesario.

Las principales aplicaciones del cálculo diferencial son:

• El estudio de movimientos, aspectos de velocidad, y aceleración
• Análisis de ecuaciones con binomios.
• El cálculo de máximos y mínimos

El cálculo se puede aplicar en distintas ciencias, como son: la medicina, la economía, la ingeniería, la arquitectura, etc. 

• En Medicina, el cálculo, específicamente el algoritmo, se aplica a la epidemiología y el logaritmo, a la inmunología. 
• En Economía y Administración, el análisis de la economía y la administración trata frecuentemente con cambios, él cálculo es para los directores de empresa y economistas es una herramienta muy valiosa. El análisis marginal es quizá la aplicación más directa del cálculo a la economía y a la administración. 

PROBLEMAS DE APLICACIÓN DEL CALCULO 

1).El numero de unidades monetarias en el costo total de fabricación de x relojes, esta dado por 

C(x) =1500+3x+x^2 

obtenga: 

a). la función del costo marginal 

b). el costo marginal cuando x=40 

C). el costo real de fabricación del reloj cuadragésimo primero 

2). considere una empresa que opera en el mercado bajo la siguiente función de costos totales: 

CT(x)=0.1x^2+10x+50; y con un precio de venta dado por el mercado de $20 por unidad. Dada esta información contestar la siguiente pregunta: 

a). para maximizar las utilidades ¿cuantas unidades debe producir la empresa? 

b). ¿A cuanto ascienden las utilidades?