MÁXIMOS Y MÍNIMOS!♥♥♥♥

MÁXIMOS Y MÍNIMOS EN UNA FUNCIÓN

Los máximos y mínimos son los extremos relativos o locales de una función.

MÁXIMO RELATIVO

En un punto en el que la derivada se anule y antes sea positiva y después del punto negativa, se dice que la función tiene un máximo relativo. Es decir, que F'(x_o) = 0 y en ese punto, la función, pase de creciente a decreciente. En x = a la función tiene un máximo relativo y se observa que su derivada se anula en ese punto, pasando de positiva a negativa. (se anula y cambia de signo). Máx en (a,f(a)).

 Si f y f' son derivables en a, a es un máximo relativo si se cumple:

1. f'(a) = 0

2. f''(a) < 0

En palabras sencillas el valor máximo relativo es cuando LA PENDIENTE CAMBIA DE POSITIVO A NEGATIVO.

MÍNIMO RELATIVO

En un punto en el que la derivada se anule y antes sea negativa y después del punto positiva, se dice que la función tiene un mínimo relativo. Es decir, que F'(x_o) = 0 y en ese punto, la función, pase de decreciente a creciente. En x = b la función tiene un mínimo relativo y se observa que su derivada se anula en ese punto, pasando de negativa a positiva. Mín en (b,f(b).

 Si f y f' son derivables en a, a es un mínimo relativo si se cumple:

1. f'(a) = 0

2. f''(a) > 0

En palabras sencillas el valor mínimo relativo es cuando LA PENDIENTE CAMBIA DE NEGATIVO A POSITIVO.

Para que una función tenga máximo o mínimo no es suficiente con que su derivada se anule (debe, además, cambiar de signo).

MÁXIMO ABSOLUTO

Una función tiene su máximo absoluto en el x=a si la ordenada es mayor o igual que en cualquier otro punto del dominio de la función.

MÍNIMO ABSOLUTO

Una función tiene su mínimo absoluto en el x = b si la ordenada es menor o igual que en cualquier otro punto del dominio de la función.

a = 0

PUNTO DE INFLEXIÓN

Un punto de inflexión es aquel donde la función derivada tiene un máximo o mínimo, es decir, un punto singular. Se dice que la función tiene un cambio en la concavidad.

Para calcular los puntos de inflexión hay que igualar a cero la derivada segunda y comprobar que ésta cambia de signo. Es decir, estudiar los máximos y mínimos de la primera derivada, para ello se deriva la primera derivada (segunda derivada) y se anula. En los puntos donde la segunda derivada se anule y cambie de signo, la función tendrá un punto de inflexión y su derivada un máx o un mín. En la gráfica, en x = 0 la función tiene un punto de inflexión y en el su derivada tiene un mínimo en (0,c).

  Donde la derivada segunda sea positiva se dice que la función es cóncava positiva y donde es negativa concavidad negativa. Un punto de inflexión es donde la función cambia de concavidad.

• CONCAVIDAD ↑ : La curva queda por encima de sus rectas tangentes.
• CONCAVIDAD ↓ : La curva esta por debajo de sus rectas tangentes.

FUNCIÓN CRECIENTE Y DECRECIENTE

Creciente  en x_o si para   x > x_o     F(x) ≥ F(x_o)   ► F ' (xo) ≥ 0

• ya que:

  		F(x) - F(xo)
  F'(xo) =	Lim	————————	≥ 0
  	x → xo	x - xo

   Una función F(x) se dice que es Creciente en un punto, x_o, si su derivada, en ese punto, x_o, es positiva;   F '(x_o) ≥ 0. En la gráfica se puede ver que esto ocurre desde -∞ hasta a y desde b hasta +∞. En esos intervalos la derivada (pendiente) está por encima del ejes X (es positiva).

Decreciente  en x_o si para   x > x_o     F(x) ≤ F(x_o)   ► F ' (xo) ≤ 0

• Una función F(x) se dice que es Decreciente en un punto, x_o, si su derivada, en ese punto, x_o, es negativa;   F '(x_o) ≤ 0. En la gráfica se observa que esto ocurre para valores de x comprendidos entre a y b. En este intervalo la derivada está por debajo del eje X (es negativa).
   

  		F(x) - F(xo)
  F'(xo) =	Lim	———————	≤ 0
  	x → xo	x - xo